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向量代数与空间解析几何

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Skyone
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本文列出了三维向量和空间解析几何常用公式。

空间向量​

方向角​

α=ax∣a∣=axax2+ay2+az2\alpha=\frac{a_x}{|a|}=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}} β=ay∣a∣=ayax2+ay2+az2\beta=\frac{a_y}{|a|}=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}} γ=az∣a∣=azax2+ay2+az2\gamma=\frac{a_z}{|a|}=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}

四点共面​

∣x2−x1y2−y1z2−z1x3−x2y3−y2z3−z2x4−x3y4−y3z4−z3∣=0\left|\begin{array}{} x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 \\ x_3-x_2 y_3-y_2 z_3-z_2 \\ x_4-x_3 y_4-y_3 z_4-z_3 \end{array}\right|=0

混合积​

[abc]=(a×b)⋅c[\boldsymbol{abc}]=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}

三向量共面​

[abc]=0[\boldsymbol{abc}] = 0

斜四棱柱体积​

V=[abc]V=[\boldsymbol{abc}]

空间平面​

点法式方程​

过一点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0) 且以 n⃗={A,B,C}\vec n=\{A,B,C\} 为法向量的平面 π\pi 的方程

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

一般方程​

记 D=−(Ax0+By0+Cz0)D=-(Ax_0+By_0+Cz_0) ，得：

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)+D=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0

截距式方程​

记 a=−DAa=-\frac{D}{A} ， b=−DBb=-\frac{D}{B} ， c=−DCc=-\frac{D}{C} ，得

xa+xb+xc=0\frac{x}{a}+\frac{x}{b}+\frac{x}{c}=0

二面角​

cos⁡θ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=∣A1A2+B1B2+C1C2∣A12+B12+C12A22+B22+C22\cos\theta=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}

点到直线的距离​

d=∣n⋅M0M1→∣∣n∣=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=\frac{|n\cdot\overrightarrow{M_0M_1}|}{|n|}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

平面束方程​

λ(A1x+B1y+C1z+D2)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_2)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0

空间直线​

一般方程​

{A1x+B1y+C1z+D2=0A2x+B2y+C2z+D2=0\left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_2=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.

点方向式方程&对称式方程​

过 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0) 且方向向量为 s={m,n,p}s=\{m,n,p\} 的直线

x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}

参数方程​

{x=mt+x0y=nt+y0z=pt+z0\left\{ \begin{array}{l} x=mt+x_0 \\ y=nt+y_0 \\ z=pt+z_0 \end{array} \right.

线线角​

cos⁡φ=∣s1⋅s2∣∣s1∣∣s2∣=∣m1m2+n1n2+p1p2∣m12+n12+p12m22+n22+p22\cos\varphi=\frac{|s_1\cdot s_2|}{|s_1||s_2|}=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}

线面角​

sin⁡φ=∣s⋅n∣∣s∣∣n∣=∣Am+Bn+Cp∣m2+n2+p2A2+B2+C2\sin\varphi=\frac{|s\cdot n|}{|s||n|}=\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

空间曲面​

柱面​

例如以平行于 zz 轴的动直线为母线，以 Γ\Gamma 为准线的柱面，其中 Γ{f(x,y)=0z=0\Gamma\left\{\begin{array}{l}f(x,y)=0\\z=0\end{array}\right. ，则柱面方程为：

f(x,y)=0f(x,y)=0

旋转曲面​

例如以 zz 轴为轴， f(y,z)=0f(y,z)=0 为母线的旋转曲面，令 y=±x2+y2y=\pm\sqrt{x^2+y^2} ，曲面方程：

f(±x2+y2,z)=0f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0

二次曲面​

椭球面​

x2a2+y2b2+y2c2=1,(a>0,b>0,c>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{y^2}{c^2}=1 ,(a>0,b>0,c>0)

椭圆抛物面​

x22p+y22q=z,(sign(p)=sign(q))\newcommand{\sign}[1]{\mathrm{sign}(#1)} \\ \frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z ,(\sign p=\sign q)

双曲抛物面​

−x22p+y22q=z,(sign(p)=sign(q))\newcommand{\sign}[1]{\mathrm{sign}(#1)} \\ -\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z ,(\sign p=\sign q)

单叶双曲线​

x2a2+y2b2−y2c2=1,(a>0,b>0,c>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{c^2}=1 ,(a>0,b>0,c>0)

双叶双曲线​

x2a2+y2b2−y2c2=−1,(a>0,b>0,c>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{c^2}=-1 ,(a>0,b>0,c>0)